Regla de Descartes.
Sea un polinomio característico de tercer grado y cuyos coeficientes son todos reales positivos y el coeficiente de mayor grado corresponde a la unidad. Se llamará a sus raíces valores propios del sistema. Si los valores propios de un sistema se encuentran en el semiplano izquierdo, entonces el sistema lineal es estable. De acuerdo a la regla de signos de Descartes, al no existir cambios de signos entre los sucesivos coeficientes del polinomio, éste no puede tener raíces reales positivas. Esto asegura que la estabilidad del sistema sólo depende de las raíces complejas, pues las reales se ubican forzosamente en el semiplano izquierdo.
Además, el teorema fundamental del álgebra, asegura que existen tres raíces. Éstas pueden, entonces, corresponder a tres raíces reales menores que cero o, debido a que los coeficientes del polinomio son reales, una raíz real negativa y un par de raíces complejas conjugadas. El caso de interés es precisamente el de las raíces complejas.
Sea un valor propio complejo que, a su vez, se identifica como la suma de una parte real y una parte imaginara multiplicada por la unidad imaginaria. Tanto la parte real como la imaginaria se consideran dentro del dominio de los escalares reales. Además, la parte imaginaria es distinta de cero para no caer en el caso trivial que ya ha respondido la regla de Descartes. Evaluando el polinomio en esta raíz, se obtiene una expresión polinomial que depende de los coeficientes del polinomio original, de la unidad imaginaria y de las partes reales e imaginarias del valor propio considerado. Esta expresión puede, a su vez, ser separada también en una parte real y una imaginaria. La parte real se denominará como polinomio real, una función de la parte real de la raíz que tiene la particularidad de no depender de la parte imaginaria de la misma, sino, únicamente y en dos términos distintos, del cuadrado de esta cantidad. Así mismo, la parte imaginaria es tal que puede escribirse como la multiplicación de la parte imaginaria del valor propio complejo y de una expresión polinomial que se denominará polinomio imaginario. Este polinomio es también función de la parte real del valor propio y su término libre es la suma del coeficiente de primer grado del polinomio original y el inverso aditivo del cuadrado de la parte imaginaria de la raíz. Ningún otro término del polinomio imaginario depende de la parte imaginaria del valor propio.
Debido a que la parte imaginaria de la raíz es distinta de cero, tanto el polinomio real como el polinomio imaginario deben ser iguales a cero para que se cumpla el supuesto de la evaluación en una raíz del polinomio original. De esta forma, desde el polinomio imaginario, se deduce una expresión sencilla para el cuadrado de la parte imaginaria del valor propio que sólo depende de la parte real del mismo. Reemplazando esta expresión en el polinomio real, se encuentra finalmente un polinomio que depende sólo de la parte real del valor propio y que es idénticamente igual a cero. Es decir, se ha encontrado un polinomio real cuyas raíces reales corresponden a la parte real de las raíces del polinomio original.
Este polinomio tiene coeficientes que dependen a su vez de los coeficientes del polinomio original. El término de tercer grado corresponde a ocho veces la unidad, pero con signo negativo. Así mismo, el coeficiente de segundo grado es igual al de tercer grado multiplicado por el coeficiente de segundo grado del polinomio original. El coeficiente de primer grado corresponde al inverso aditivo del doble de la suma entre el coeficiente de primer grado del polinomio original y el cuadrado del coeficiente de segundo grado del mismo polinomio original. Notar que hasta este punto, dado que los coeficientes originales son todos positivos, todos los coeficientes del nuevo polinomio son inferiores a cero. Es decir, no existen cambios de signos. Descartes asegura que, de mantenerse esto para el término libre, las raíces reales de este polinomio estarán en el semiplano izquierdo. Lo cual asegurará que el sistema original sea estable pues todas sus raíces, reales y complejas, estarán en el semiplano izquierdo. El término libre de este polinomio corresponde a la suma del término libre original y el inverso aditivo de la multiplicación de los demás coeficientes originales.
En conclusión, gracias a Descartes, si el término libre de un polinomio grado tres de coeficientes estrictamente positivos y unitarios en su grado mayor, es menor que la multiplicación de los otros dos coeficientes, entonces el sistema tendrá todas sus raíces, tanto reales como complejas conjugadas, en el semiplano izquierdo y el sistema lineal que caracteriza será estable.
Sea un polinomio característico de tercer grado y cuyos coeficientes son todos reales positivos y el coeficiente de mayor grado corresponde a la unidad. Se llamará a sus raíces valores propios del sistema. Si los valores propios de un sistema se encuentran en el semiplano izquierdo, entonces el sistema lineal es estable. De acuerdo a la regla de signos de Descartes, al no existir cambios de signos entre los sucesivos coeficientes del polinomio, éste no puede tener raíces reales positivas. Esto asegura que la estabilidad del sistema sólo depende de las raíces complejas, pues las reales se ubican forzosamente en el semiplano izquierdo.
Además, el teorema fundamental del álgebra, asegura que existen tres raíces. Éstas pueden, entonces, corresponder a tres raíces reales menores que cero o, debido a que los coeficientes del polinomio son reales, una raíz real negativa y un par de raíces complejas conjugadas. El caso de interés es precisamente el de las raíces complejas.
Sea un valor propio complejo que, a su vez, se identifica como la suma de una parte real y una parte imaginara multiplicada por la unidad imaginaria. Tanto la parte real como la imaginaria se consideran dentro del dominio de los escalares reales. Además, la parte imaginaria es distinta de cero para no caer en el caso trivial que ya ha respondido la regla de Descartes. Evaluando el polinomio en esta raíz, se obtiene una expresión polinomial que depende de los coeficientes del polinomio original, de la unidad imaginaria y de las partes reales e imaginarias del valor propio considerado. Esta expresión puede, a su vez, ser separada también en una parte real y una imaginaria. La parte real se denominará como polinomio real, una función de la parte real de la raíz que tiene la particularidad de no depender de la parte imaginaria de la misma, sino, únicamente y en dos términos distintos, del cuadrado de esta cantidad. Así mismo, la parte imaginaria es tal que puede escribirse como la multiplicación de la parte imaginaria del valor propio complejo y de una expresión polinomial que se denominará polinomio imaginario. Este polinomio es también función de la parte real del valor propio y su término libre es la suma del coeficiente de primer grado del polinomio original y el inverso aditivo del cuadrado de la parte imaginaria de la raíz. Ningún otro término del polinomio imaginario depende de la parte imaginaria del valor propio.
Debido a que la parte imaginaria de la raíz es distinta de cero, tanto el polinomio real como el polinomio imaginario deben ser iguales a cero para que se cumpla el supuesto de la evaluación en una raíz del polinomio original. De esta forma, desde el polinomio imaginario, se deduce una expresión sencilla para el cuadrado de la parte imaginaria del valor propio que sólo depende de la parte real del mismo. Reemplazando esta expresión en el polinomio real, se encuentra finalmente un polinomio que depende sólo de la parte real del valor propio y que es idénticamente igual a cero. Es decir, se ha encontrado un polinomio real cuyas raíces reales corresponden a la parte real de las raíces del polinomio original.
Este polinomio tiene coeficientes que dependen a su vez de los coeficientes del polinomio original. El término de tercer grado corresponde a ocho veces la unidad, pero con signo negativo. Así mismo, el coeficiente de segundo grado es igual al de tercer grado multiplicado por el coeficiente de segundo grado del polinomio original. El coeficiente de primer grado corresponde al inverso aditivo del doble de la suma entre el coeficiente de primer grado del polinomio original y el cuadrado del coeficiente de segundo grado del mismo polinomio original. Notar que hasta este punto, dado que los coeficientes originales son todos positivos, todos los coeficientes del nuevo polinomio son inferiores a cero. Es decir, no existen cambios de signos. Descartes asegura que, de mantenerse esto para el término libre, las raíces reales de este polinomio estarán en el semiplano izquierdo. Lo cual asegurará que el sistema original sea estable pues todas sus raíces, reales y complejas, estarán en el semiplano izquierdo. El término libre de este polinomio corresponde a la suma del término libre original y el inverso aditivo de la multiplicación de los demás coeficientes originales.
En conclusión, gracias a Descartes, si el término libre de un polinomio grado tres de coeficientes estrictamente positivos y unitarios en su grado mayor, es menor que la multiplicación de los otros dos coeficientes, entonces el sistema tendrá todas sus raíces, tanto reales como complejas conjugadas, en el semiplano izquierdo y el sistema lineal que caracteriza será estable.
