Descartes

Regla de Descartes.

Sea un polinomio característico de tercer grado y cuyos coeficientes son todos reales positivos y el coeficiente de mayor grado corresponde a la unidad. Se llamará a sus raíces valores propios del sistema. Si los valores propios de un sistema se encuentran en el semiplano izquierdo, entonces el sistema lineal es estable. De acuerdo a la regla de signos de Descartes, al no existir cambios de signos entre los sucesivos coeficientes del polinomio, éste no puede tener raíces reales positivas. Esto asegura que la estabilidad del sistema sólo depende de las raíces complejas, pues las reales se ubican forzosamente en el semiplano izquierdo.
Además, el teorema fundamental del álgebra, asegura que existen tres raíces. Éstas pueden, entonces, corresponder a tres raíces reales menores que cero o, debido a que los coeficientes del polinomio son reales, una raíz real negativa y un par de raíces complejas conjugadas. El caso de interés es precisamente el de las raíces complejas.
Sea un valor propio complejo que, a su vez, se identifica como la suma de una parte real y una parte imaginara multiplicada por la unidad imaginaria. Tanto la parte real como la imaginaria se consideran dentro del dominio de los escalares reales. Además, la parte imaginaria es distinta de cero para no caer en el caso trivial que ya ha respondido la regla de Descartes. Evaluando el polinomio en esta raíz, se obtiene una expresión polinomial que depende de los coeficientes del polinomio original, de la unidad imaginaria y de las partes reales e imaginarias del valor propio considerado. Esta expresión puede, a su vez, ser separada también en una parte real y una imaginaria. La parte real se denominará como polinomio real, una función de la parte real de la raíz que tiene la particularidad de no depender de la parte imaginaria de la misma, sino, únicamente y en dos términos distintos, del cuadrado de esta cantidad. Así mismo, la parte imaginaria es tal que puede escribirse como la multiplicación de la parte imaginaria del valor propio complejo y de una expresión polinomial que se denominará polinomio imaginario. Este polinomio es también función de la parte real del valor propio y su término libre es la suma del coeficiente de primer grado del polinomio original y el inverso aditivo del cuadrado de la parte imaginaria de la raíz. Ningún otro término del polinomio imaginario depende de la parte imaginaria del valor propio.
Debido a que la parte imaginaria de la raíz es distinta de cero, tanto el polinomio real como el polinomio imaginario deben ser iguales a cero para que se cumpla el supuesto de la evaluación en una raíz del polinomio original. De esta forma, desde el polinomio imaginario, se deduce una expresión sencilla para el cuadrado de la parte imaginaria del valor propio que sólo depende de la parte real del mismo. Reemplazando esta expresión en el polinomio real, se encuentra finalmente un polinomio que depende sólo de la parte real del valor propio y que es idénticamente igual a cero. Es decir, se ha encontrado un polinomio real cuyas raíces reales corresponden a la parte real de las raíces del polinomio original.
Este polinomio tiene coeficientes que dependen a su vez de los coeficientes del polinomio original. El término de tercer grado corresponde a ocho veces la unidad, pero con signo negativo. Así mismo, el coeficiente de segundo grado es igual al de tercer grado multiplicado por el coeficiente de segundo grado del polinomio original. El coeficiente de primer grado corresponde al inverso aditivo del doble de la suma entre el coeficiente de primer grado del polinomio original y el cuadrado del coeficiente de segundo grado del mismo polinomio original. Notar que hasta este punto, dado que los coeficientes originales son todos positivos, todos los coeficientes del nuevo polinomio son inferiores a cero. Es decir, no existen cambios de signos. Descartes asegura que, de mantenerse esto para el término libre, las raíces reales de este polinomio estarán en el semiplano izquierdo. Lo cual asegurará que el sistema original sea estable pues todas sus raíces, reales y complejas, estarán en el semiplano izquierdo. El término libre de este polinomio corresponde a la suma del término libre original y el inverso aditivo de la multiplicación de los demás coeficientes originales.
En conclusión, gracias a Descartes, si el término libre de un polinomio grado tres de coeficientes estrictamente positivos y unitarios en su grado mayor, es menor que la multiplicación de los otros dos coeficientes, entonces el sistema tendrá todas sus raíces, tanto reales como complejas conjugadas, en el semiplano izquierdo y el sistema lineal que caracteriza será estable.

el Diario

página dos

stranger than fiction

you've always wanted to write a story. a simple, humble story. about a man or a girl, who simply steps into the world with just one purpose: to be alive. but then again, you, as a writer, face the unavoidable truth: all what you could ever think of, was already written. and then again, you step into a paper cup, you try to handwrite the huge walls that sorround you, and you end up with nothing, nothing at all.
but maybe, you could make that nothing to be in english, so it sounds better when you ausprichts.

San Pedro de la Paz

Desde el puente, se observan las arenas sobre las calmas aguas del generoso río. A la derecha, tras los cerros de Hualpén, las eternas aguas seguirán su curso para desembocar en el Pacífico. Dejamos atrás el cerro Chepe. Desde el abandonado mirador en su cima, a través de los pinos y cipreses traídos por los europeos, se observa la ribera del cauce rodeada de árboles propios: lengas, litres, raulís, arrayanes y algún canelo sagrado. Las palmas chilenas adornan el valle de la Mocha que también dejamos atrás, para cruzar el amplio río hacia las tierras de La Araucana.

Rodeados por otros autos, desde el mirador somos casi imperceptibles en nuestro avanzar insolente. Cruzamos raudos la línea entre ambos estados, tal como lo hicieran los invasores hace quinientos años. Así como los árboles y flores de ambas culturas se mezclan, el cielo parece, también, recordarnos persistentemente nuestra situación. Las nubes de algodón salpicado en negro, se desgarran a lo largo por potentes rayos. La primavera, con sus lluvias intermitentes y llenas de sol, es la memoria viva de la tierra fronteriza en conflicto centenario.

Sobre el puente Llacolén, avanzamos decididos hacia el sur. Las lágrimas de la princesa caen a ratos sobre el parabrisas. No quiere que olvidemos su sacrificio, su traición y su libertad. En nuestro avanzar, enfrentamos una muralla verde. Los cerros frente a nosotros se llenan hoy de pinos y álamos. Imagino que antes, cuando Llacolén desafiaba a su raza y a su soberbio padre, las araucarias destacaban por sobre el follaje. Longevas como el sabio Colo-Colo, rectas como el espíritu de Caupolicán, afiladas como las lanzas de Lautaro, pero, sobre todo, gallardas y aguerridas como Galvarino, señor de las tierras en la ribera sur del Biobío.

Viendo el toqui Galvarino que su hija Llacolén estaba en edad de ser desposada, pronto la comprometió en matrimonio a Millantú. Éste, hijo del cacique Lonco, que mandaba sobre las tierras un poco más al este, en la ribera norte del río, era un mozo fornido y de fina estirpe, como todos los hijos del Estado en tiempos de guerra. El salvaje invasor español azotaba Arauco para satisfacer su codicia. Ni el oro fundido derramado en la garganta de Valdivia aplacó la sed de los cristianos. Por el contrario, los precipitó hacia la barbarie y la brutalidad.

Cuando peleaba bajo las órdenes del joven Lautaro, en Lagunillas, algunos kilómetros al sur de sus dominios, donde hoy algunos juegan golf sin inmutarse por el pasado, Galvarino fue preso de los españoles bajo el mando del nuevo gobernador, García Hurtado de Mendoza. Llacolén, como las demás mujeres mapuches, lloró de ira ante el suplicio de su padre:

Como escarmiento por su insolencia, y como una advertencia para todo el pueblo mapuche, se condenó a Galvarino a que se le amputaran ambas manos. El bravo toqui, sin un gesto en su rostro, calmadamente, pone la siniestra sobre el madero y observa, sin mover un solo músculo, cómo un indio traidor que oficia de verdugo, le corta la mano implacablemente. El mismo Galvarino, sereno e imponente, entrega su mano derecha sobre el madero ensangrentado. Y, nuevamente, sin el más leve gesto de dolor en su rostro, ve correr la sangre y la diestra desprenderse de su cuerpo. Luego, desafiante e insolente, Galvarino estiró su cabeza para que también la cortaran.

diciendo así: «Segad esa garganta
siempre sedienta de la sangre vuestra,
que no temo la muerte ni me espanta
vuestra amenaza y rigurosa muestra,
y la importancia y pérdida no es tanta
que haga falta mi cortada diestra
pues quedan otras muchas esforzadas,
que saben gobernar bien sus espadas.

Alonso de Ercilla y Zúñiga,

La Araucana, canto XXII

Los cobardes verdugos no son capaces de satisfacer los deseos del valeroso toqui. Éste, blandiendo improperios a sus captores, maldiciendo sus nombres y su raza, les infiere el mayor de los insultos al delatar su cobardía y la hidalguía del pueblo mapuche que, a pecho desnudo, resiste altivo al invasor. Sin embargo, la bella hija del cacique, amén el suplicio de su padre, tiene el corazón dividido.

Por las tardes, la hermosa joven de ojos negros, paseaba por el borde de la laguna donde conoció al joven y apuesto capitán español de quién se enamoró. Se encontraban en secreto cuando el sol se perdía en el mar, permitiendo que su amor creciera a pesar de la cruenta guerra que los separaba. El deseo libertario propio de su pueblo, propició en Llacolén la pasión por el invasor y el desprecio por su prometido. La traición de Llacolén a su pueblo y su tradición, seguía la línea de la tragedia.

Galvarino volvió caminando donde los suyos. Mutilado, ensangrentado, pero con el pecho erguido y jurando venganza, jamás imaginó que su fiereza y sed de libertad sólo podía ser contrastadas por el amor de su hija hacia el capitán español. Cuando Galvarino partió nuevamente a la guerra, Llacolén volvió a reunirse con su amante. La joven se debatía entre su amor de mujer y el amor a su raza, mientras el capitán español sólo tenía palabras de consuelo para su enamorada.

Desesperado, en la madrugada del 30 de noviembre de 1557, Millantú encuentra a la pareja a la orilla de la laguna que hoy lleva el nombre de la princesa. El ejército de Lautaro, con Galvarino como el más fiero guerrero bajo su mando, se deja caer sobre los hombres de Hurtado de Mendoza. Mapuches y españoles se baten en sendos combates. Preso de los celos, Millantú lucha por el amor de Llacolén mientras Galvarino lucha por la libertad de la joven y todo su pueblo. Las espadas se cruzan con las macanas.

Luego de largas horas de combate, ambos mozos caen heridos mortalmente. Ruedan por la hierba al mismo tiempo que el ejército mapuche sucumbe ante las armas españolas. Ya viene la tarde, cuando Llacolén, horrorizada y sin más motivo para vivir, se adentra en las aguas de la laguna para nunca más salir. Su padre, con cuchillos atados en sus muñones, es incapaz de impedir su destino y es preso de los salvajes. Esta vez sí, Galvarino es condenado a muerte.

"Sús, pues, ya ¿qué queréis o qué os detiene
de no me dar mi premio y justo pago?
La muerte y no la vida me conviene,
pues con ella a mi deuda satisfago;
pero si algún disgusto y pena tiene
este importante y deseado trago,
es no veros primero hecho pedazos
con estos dientes y troncados brazos"

Alonso de Ercilla y Zúñiga,

La Araucana, canto XXVI

Ya casi saliendo del puente, las últimas luces de la tarde nos guían hacia 450 años en el pasado. El cielo se tiñe con la sangre de los mapuches que murieron en esta frontera, mientras Llacolén sigue derramando sus lágrimas ansiosas de libertad. La leyenda de la princesa se entrelaza con la historia de Arauco indómito, como los copihues, que nacieron producto del amor y la guerra, se entrelazan en los árboles. Nosotros, nacidos en la misma cuna que las flores de la Araucanía, no queremos, sin embargo, oponernos al invasor que viene del norte y honrar nuestros antepasados.

¿Dónde quedó el alma de Galvarino? El alma de este guerrero que, instantes antes de ser ajusticiado, fustigaba a algunos cobardes araucanos que preferían vivir como esclavos a morir como hombres libres. En la radio, la voz desgarrada de la chillaneja doliente me responde: “se la llevó el viento sur”.